پراکندهای بامدادی

حیاط خلوت وبلاگ بامدادی

پاسخِ معمای احتمالِ پاسخِ تصادفی درست

این پاسخ یک مساله است. ابتدا اصل مساله را این‌جا بخوانید.

چند نکته قبل از پاسخ:

نکته ۱: باید توجه داشت که سوال اندکی مبهم است و مشخص نمی‌کند چه نوعی از انتخاب تصادفی را باید در نظر بگیریم (خطی، نرمال، …). با این‌حال فرض می‌کنیم که تابعِ تصادفی خطی موردِ نظر بوده است.

نکته‌ ۲: در ضمن فرض کنیم سوالِ تستی مطرح شده می‌تواند دو گزینه‌ی درست داشته باشد (اما ما باید یکی را تصادفی انتخاب کنیم).

اگر نکته‌ی ۲ صادق نباشد یعنی سوالِ تستی فقط یک جوابِ درست داشته باشد، آن‌وقت گزینه‌های الف و د چون مشابه هستند (۲۵٪) از گزینه‌های درست حذف خواهند و در نتیجه دو گزینه باقی می‌ماند که فقط یکی از آن‌ها صحیح است یعنی ب و ج. پس پاسخ به این صورت می‌شود:

احتمال این‌که ب درست باشد (۱/۲) و احتمال این‌که ب (۱/۴) را انتخاب کنیم + احتمال این‌که ج درست (۱/۲) باشد و احتمال این‌که ج را انتخاب کنیم (۱/۴)؛
یعنی: ۱/۸ + ۱/۸. پس احتمالِ این‌که پاسخِ صحیح را انتخاب کنیم می‌شود ۱/۴ یا (۲۵٪).
اما به تناقض رسیدیم، چون قرار بود نتوانیم دو گزینه‌ی درست داشته باشیم، حال آن‌که دو تا از گزینه‌ها ۲۵٪ هستند. پس شاید بتوانیم بگوییم که نکته‌ی ۲ حتماً باید صادق باشد. (اما با در نظر گرفتن نکته‌ی ۳ داستان پیچیده‌تر می‌شود! چون اگر نکته‌ی ۳ درست باشد،‌ درست نبودن نکته‌ ۲ به تناقض نمی‌رسد، و پاسخ همان ۲۵٪ خواهد بود!)

نکته‌ ۳: توجه کنید که سوال نمی‌گوید «احتمالِ انتخابِ پاسخِ درست» با «مقدار عددی انتخاب درست» برابر است.  فرضاً ممکن است پاسخِ درست گزینه‌ی ج) ۳۳٪ باشد، اما احتمالِ انتخاب آن ۲۵٪ باشد. نیازی نیست این دو یکی باشند.

به عبارت دیگر سوال نمی‌گوید: «احتمالِ این‌که گزینه‌ی درست را به صورت تصادفی انتخاب کنید از میان گزینه‌های زیر انتخاب کنید.»

بلکه می گوید: «احتمالِ این‌که گزینه‌ی درست را به صورت تصادفی انتخاب کنید چقدر است؟»

یعنی سوالی که از ما شده تستی نیست،‌ تشریحی است. یک سوال تشریحی درباره‌ی یک سوال تستی.

اگر نکته‌ی ۳ درست نباشد، یعنی فرض کنیم محتوای گزینه‌‌ی درست باید با احتمالِ انتخابِ گزینه‌ی درست یکی باشد، آن‌وقت مسأله دچار «دُور» می‌شود، یعنی انتخابِ ما به صورتِ مسأله بازخورد می‌شود و در نتیجه مسأله ناپایدار می‌گردد و جواب معینی ندارد.

پاسخ:

خوب با توجه به نکاتِ بالا و برای سادگی، مسأله را این‌طور بازنویسی می‌کنیم:

اگر به صورتِ کاملاً تصادفی یکی از پاسخ‌های زیر را انتخاب کنید، احتمالِ این‌که پاسخِ درست را انتخاب کرده باشید چقدر است؟
الف) سیب          ب) گلابی            ج) هویج            د) سیب

ما با سه قلم میوه رو به رو هستیم. پس پاسخ باید یکی از این سه باشد، یعنی بینِ سیب، گلابی و هویج. احتمالِ این‌که پاسخ هر کدام از این‌ها باشد یک سوم (۱/۳) است. در نتیجه:

احتمال این‌که پاسخِ درست سیب باشد (۱/۳) و ما هم از میان چهار گزینه‌ی موجود سیب را انتخاب کنیم (۲/۴) است در نتیجه: ۱/۳ * ۲/۴ = ۲/۱۲

یا

احتمال این‌که پاسخِ درست گلابی باشد (۱/۳) و ما هم از میان چهار گزینه‌ی موجود گلابی را انتخاب کنیم (۱/۴) است در نتیجه: ۱/۳ * ۱/۴ = ۱/۱۲

یا

احتمال این‌که پاسخِ درست هویج باشد (۱/۳) و ما هم از میان چهار گزینه‌ی موجود هویج را انتخاب کنیم (۱/۴) است در نتیجه: ۱/۳ * ۱/۴ = ۱/۱۲

پس احتمالِ این‌که پاسخِ درست را انتخاب کنیم جمعِ همه‌ی احتمال‌های بالاست:

۲/۱۲+۱/۱۲+۱/۱۲ = ۱/۳

پس پاسخ درست ۱/۳ یا ۳۳٪ است. توجه داشته باشید که همان‌طور که در توضیحِ نکته‌ی ۲ نوشتیم، چنان‌چه نکته‌ی ۲ صادق نباشد (ولی نکته‌های ۱ و ۳ صادق باشند) پاسخ ۱/۴ (۲۵٪) می‌شود.

 پی‌نوشت۱: فرمِ اصلی این سوال گزینه‌ی ۳۳٪ را ندارد و به جای آن ۶۶٪ قرار دارد. مادامی که نکته‌ی ۳ صادق باشد شیوه‌ی حل آن مسأله مشابه است. اما در آن‌جا سوال به گونه‌ای مطرح شده که احتمالِ این‌که تفسیرِ نکته‌ی ۳ درست نباشد را بیشتر می‌کند. در نتیجه آن سوأل دچار دور می‌شود و جوابِ معینی ندارد.

پی‌نوشت۲: برخی از این نکته‌ها توسط دوستان ذیل مدخلِ این پست در گوگل‌پلاس مطرح شده است.

نظر من در مورد تردستی کارت‌هایی که رنگ عوض می‌کنند

این ویدئوی ساده مثال خیره‌کننده‌ای از این نکته است که ما «آن‌چه را می‌بینیم که انتظار دیدنش را داریم» یه به عبارت دقیق‌تر «دقت گزینشی» (selective attention).

در این فیلم طراحی صحنه به گونه‌ای است که ظاهرا مرد در حال اجرای یک تردستی با کارت‌های بازی برای زن است. در نتیجه همه‌ی توجه ما به اجرای تردستی می‌رود و انتظار تغییر رنگ‌ها را در لباس مجری‌ها و همین‌طور رنگ رومیزی یا پرده‌ای که پشت آویخته شده است نداریم. من متوجه هیچ‌کدام از این تغییرات نشدم. اما نکته‌ی نگران‌کننده (برای من) این است که من حتی متوجه گوریلی که در اتاق نشسته بود هم نشدم!

چند تا از تغییرات را همان آغاز دیدید؟ آیا متوجه گوریل شدید؟

 

 

یک نمونه‌ی کلاسیک را هم ببینید:

پاسخ معمای ریاضی‌دان کسل و یازده زندانی

این پاسخ مساله‌ی شماره‌ی ۴ در این پست است. ابتدا اصل معما را مطالعه کنید.

یک نفر رهبر گروه زندانی‌ها می‌شود و او تنها کسی خواهد بود که چراغ را «خاموش می‌کند». سایر زندانی‌ها (غیر از رهبر) هر بار که وارد اتاق دوازده می‌شوند اگر با چراغ روشن مواجه شوند به آن دست نمی‌زنند. اما اگر با چراغ خاموش مواجه شوند، فقط برای اولین بار آن‌را روشن می‌کنند. اما دفعه‌های بعد به آن دست نمی‌زنند.

در نتیجه هر بار که رهبر وارد اتاق می‌شود و می‌بیند که چراغ روشن است یعنی یکی از زندانی‌ها برای اولین بار وارد اتاق شده و آن‌را روشن کرده است. در نتیجه رهبر شمارش‌گر ذهنی‌اش را یک عدد زیاد می‌کند و چراغ را خاموش می‌کند تا زندانی بعدی آن‌را روشن کند و …

به این ترتیب وقتی شمارش‌گر رهبر به ۱۰ رسید او می‌داند که همه‌ی زندانی‌های دیگر دست کم یک بار وارد اتاق دوازده شده‌اند. سپس او می‌تواند به ریاضی‌دان این موضوع را اطلاع دهد.

پاسخ معمای استراتژی برنده در بازی دو نفره با سکه‌ها

این پاسخ مساله‌ی شماره‌ی ۳ در این پست است. ابتدا اصل معما را مطالعه کنید.

بازی را شما آغاز کنید و اولین سکه را درست در مرکز میز قرار دهید. سکه‌های بعدی‌تان را درست در نقطه‌ی مقابل قطری سکه‌ای که حریف‌تان روی میز قرار می‌دهد قرار دهید.

پاسخ معمای حداکثر مساحت با دو قطعه طناب

این پاسخ مساله‌ی شماره‌ی ۲ در این پست است. ابتدا اصل معما را مطالعه کنید.

در میان اشکال هندسی دایره بالاترین نسبت مساحت به محیط را دارد. در نتیجه در بریدن طناب باید بیشترین سهم را به دایره و کمترین سهم را به مربع بدهید. در واقع بهتر است کوچکترین برش ممکن (با حد متمایل به صفر) را به مربع اختصاص دهیم.

همین نکته در مورد سه قسمت کردن طناب صادق است. باید دو جزء تقریبا با طول صفر را به مربع و مثلث اختصاص داد و باقی را به دایره.

پاسخ معمای اندازه‌ی گیری زمان با طناب

این پاسخ مساله‌ی شماره‌ی یک در این پست است. ابتدا اصل معما را مطالعه کنید.

فرض بر این است که دو طناب مشابه هم نیستند و تنها نکته‌ی مشترک‌شان در این است که دقیقا در ۱ ساعت می‌سوزند.

طناب شماره‌ی ۱ را از هر دو سمت و طناب شماره‌ی ۲ را فقط یک از سمت آتش بزنید.

وقتی طناب شماره‌ی یک کاملا سوخت، دقیقا ۳۰ دقیقه سپری شده است.

در این لحظه سر دیگر طناب شماره‌ی ۲ را آتش بزنید. ۱۵ دقیقه‌ی دیگر طول خواهد کشید که طناب شماره‌ی ۲ کاملا بسوزد.

به این ترتیب سوخت دو طناب روی هم ۴۵ دقیقه زمان برده است.

پاسخ مساله‌ی گلوله‌ی ایده‌آل در مقابل زره ایده‌آل

این جواب یک مساله است. ابتدا اصل مساله را در بامدادی بخوانید و در مورد آن فکر کنید.

پاسخ مساله‌ی گلوله‌ی ایده‌آل در مقابل زره ایده‌آل

با توجه به فرض مساله‌، در صورتی که گلوله به زره برخورد کند باید از آن عبور کند که با توجه به خصوصیت زره یاد شده این یک تناقض است. پس گلوله به زره برخورد نخواهد کرد.

اما ممکن است بپرسید چطور ممکن است گلوله به زره برخورد نکند؟ آیا نمی‌توان آزمایش را تکرار کرد و هر بار از فاصله‌ای نزدیک‌تر گلوله را شلیک کرد؟

پاسخ این است که اولا جهان مرجع ما در این مساله یک جهان قراردادی یا رسمی (formal) است و دلیلی ندارد هر مفهوم منطقی، حتما مصداق فیزیکی معناداری داشته باشد. اما اگر تلاش کنیم برای رویداد یاد شده یعنی برخورد نکردن گلوله آلفا به زره بتا مصداق فیزیکی پیدا کنیم به وضعیت‌های عجیب‌تری خواهیم رسید:

(۱) گلوله هرگز با زره برخورد نمی‌کند، چون هرگز به آن نمی‌رسد. هر چه گلوله به سطح زره نزدیک‌تر می‌شود، آهنگ زمان کندتر می‌شود تا حدی که برخورد محتوم در بی‌نهایت زمانی (ابدیت) رخ خواهد داد.

(۲) گلوله هرگز با زره برخورد نمی‌کند، چون دستی نامرئی مسیر آن را تغییر می‌دهد. اما ماهیت این دست نامرئی چیست؟ کسی نمی‌داند. اما احتمالا از همان جنسی است که نافذ بودن گلوله‌ی آلفا و نفوذ‌ناپذیر بودن زره بتا را تضمین کرده است.

(۳) گلوله هرگز به زره نمی‌خورد، چون درست در آستانه‌ی برخورد آن با زره جهان به پایان می‌رسد.

پاسخ معمای غیرممکن

این جواب یک مساله است. ابتدا اصل مساله را بخوانید و در مورد آن فکر کنید.

پاسخ مساله معمای غیرممکن

این مساله صورت های مختلفی دارد که هر کدام هم راه حل های مختلفی دارند. برای صورت کلاسیک آن که من در بامدادی منتشر کرده ام راه حل زیر را انتخاب کرده‌ام که بیشتر دوستانی هم که در بحث پای پست یا در گوگل پلاس دنبال کرده‌اند راه‌حل‌هایی شبیه این را دنبال کرده‌اند (بعضا به صورت کامل یا ناقص). و اما راه حل:

۱) اولین جمله‌ی ضیا نشان می‌دهد که او اگر چه حاصل ضرب x و y را می‌داند اما تک تک عددها را نمی‌داند. در نتیجه دو عدد x و y نمی‌توانند همزمان اول باشند.

۲) جیران می‌گوید که از ابتدا می‌دانسته که ضیا نمی‌تواند x و y را بداند. پس جیران قبل از این‌که جمله‌ی اول ضیا را شنیده باشد باید از روی حاصل‌جمع x و y فهمیده باشد که دو عدد نمی‌توانند هر دو اول باشند. (پس فهمیده که چون دو عدد نمی‌توانند هردو اول باشند پس ضیا هم نمی‌تواند از روی حاصل‌ضرب آن‌ها دو عدد را حدس بزند). این نشان می‌دهد که باید از میان فهرست حاصل‌جمع‌های ممکن بین ۳ تا ۱۰۰ آن‌هایی که می‌توانند توسط جمع دو عدد اول ساخته شوند را حذف کنیم. این‌کار را که انجام دهیم فقط ۲۴ حاصل‌جمع ممکن باقی می‌ماند (یعنی عددهای که نمی‌توان آن‌ها را به صورت جمع دو عدد اول نوشت) که عبارتند از:

۱۱، ۱۷، ۲۳، ۲۷، ۲۹، ۳۵، ۳۷، ۴۱، ۴۷، ۵۱، ۵۳، ۵۷، ۵۹، ۶۵، ۶۷، ۷۱، ۷۷، ۷۹، ۸۳، ۸۷، ۸۹، ۹۳، ۹۵ و ۹۷

۳) با توجه به این‌که همه‌ی این حاصل‌جمع‌ها فرد هستند، می‌دانیم که x باید فرد و y زوج باشد (یا برعکس). از میان حاصل‌جمع‌های ممکن که در بالا ذکر شد، ۱۶ تا از آن‌ها می‌توانند به دست‌کم دو حالت از صورت کلی 2m+q نوشته شوند که m  بزرگ‌تر یا مساوی با ۲ و q یک عدد اول است. به عنوان مثال توجه کنید که حاصل‌جمع ۱۱ را به دو صورت ۴+۷  و ۳+۸ می‌توان نوشت. اگر یکی از این مقادیر حاصل‌جمع دو عدد باشد، آن‌وقت ضیا (که حاصل‌ضرب را می‌داند) می‌تواند x و y را محاسبه کند، چون حاصل‌ضرب 2m*q را فقط به یک حالت می‌توان به یک عامل فرد و یک عامل زوج تجزیه کرد اما جیران (که حاصل جمع را می‌داند) نخواهد توانست به دو عدد x و y برسد چون دست کم دو حالت مختلف 2m+q  وجود دارد و او نمی‌داند کدام‌یک پاسخ است. با توجه به این‌که جیران «توانسته است» عددها را پیدا کند، پس این ۱۶ حاصل‌جمع از فهرست حاصل‌جمع‌های قابل قبول که بالا آوردیم باید حذف شوند. از میان فهرست بالا می‌توانیم حاصل‌جمع‌هایی را که می‌توان به دو صورت مختلف به صورت حاصل جمع ۲ و یک عدد فرد نوشت را حذف کنیم (چون x و y باید یکی فرد و یکی زوج باشند). بعد از این‌که آن‌ها را حذف کنیم به ۸ حاصل‌جمع ممکن زیر می‌رسیم:

۱۷، ۲۹، ۴۱، ۵۳، ۵۹، ۶۵، ۸۹ و ۹۷

۴) در ضمن داریم که:

۲۹ = ۱۳+۱۶ = ۲۷+۲

۴۱ = ۲۵+۱۶ = ۳۷+۴

۵۳= ۲۱+۳۲ = ۳۷+۱۶

۵۹ = ۲۷+۳۲ = ۴۳+۱۶

۶۵=۳۳+۳۲=۶۱+۴

۸۹=۲۵+۶۴=۷۳+۱۶

۹۷=۲+۹۵=۸+۸۹

و بعد از حذف این حاصل‌جمع‌ها، عدد ۱۷ به عنوان تنها مقدار ممکن برای حاصل‌جمع باقی می‌ماند.

۵) حالا باید تمام حالت‌هایی که می‌توان ۱۷ را تولید کرد در نظر بگیریم:

۱۷=۲+۱۵                         ۲*۱۵=۳۰=۶*۵

۱۷=۳+۱۴                        ۱۴*۳=۴۲=۲*۲۱

۱۷=۴+۱۳                                    ۴*۱۳=۵۲

۱۷=۵+۱۲                         ۵*۱۲=۶۰=۲*۳۰

۱۷=۶+۱۱                         ۶*۱۱=۶۶=۲*۳۳

۱۷=۷+۱۰                         ۷*۱۰=۷۰=۲*۳۵

۱۷=۸+۹                             ۸*۹=۷۲=۲*۳۶

از میان حالت‌های بالا که همه‌ی حاصل‌جمع ۱۷ را تولید می‌کنند، حالت‌هایی که دست‌کم به دو حالت مختلف می‌توان حاصل‌ضرب مربوطه را به صورت یک عامل فرد و یک عامل زوج تولید کرد حذف می‌کنیم. بنابراین با توجه به این‌که حاصل‌جمع باید ۱۷ باشد و حاصل‌ضرب هم نباید مبهم باشد، تنها یک حالت باقی می‌ماند و آن ۱۴+۳ است. این یعنی x=4 و y=13 باید باشد.

صورت انگلیسی این راه‌حال و بعضی روش‌های دیگر را می‌توانید این‌جا ببینید.

پاسخ مساله نقاط زیر را به هم وصل کنید

این پاسخ یک مساله است.ابتدا اصل مساله را بخوانید و در مورد پاسخ آن فکر کنید.

پاسخ مساله‌ی «نقاط زیر را به هم وصل کنید»:

پاسخ قسمت اول:

برای حل این مساله باید ازمربع فرضی‌ای که توسط نقطه‌ها ایجاد شده خارج شوید. به عبارت دیگر باید از چارچوب خارج شوید. تصویر زیر راه حل مساله را نشان می‌دهد (وصل کردن همه‌ی نقاط فقط با چهار پاره خط بدون تکرار نقاط).

پاسخ قمست دوم: برای وصل کردن نقاط توسط یک خط راست راه‌های مختلفی وجود دارد.

چون صورت مساله اشاره‌ای به ضخامت خط مورد نظر نکرده است، شما می‌توانید از یک قلم به اندازه‌ی کافی پهن استفاده کنید و با یک حرکت همه‌ی نقاط را به هم وصل کنید. اگر نقطه‌ها روی کاغذ کشیده شده باشند، می‌توانید کاغذ را به شیوه‌ی معینی ببرید (به صورتی که هر سطر یا هر ستون یا حتی هر کدام از نقطه‌ها در یک قطعه کاغذ قرار بگیرند) و تکه‌های بریده شده را کنار هم قرار دهید تا در امتداد هم قرار بگیرند و بعد با یک خط راست همه را به هم وصل کنید. بسته به همت‌تان ممکن است راه حل‌های دشوارتری نیز به ذهنتان برسد. مثلا می‌توانید از نقطه‌ی بالا سمت راست شروع کنید و خط مستقیمی به سمت چپ بکشید و امتداد خط را همین‌طور ادامه دهید و یک دور کامل کره زمین را بزنید و مجددا از راست به چپ از سطر دوم عبور کنید و دوباره یک دور زمین را بزنید و این بار سطر سوم را به هم وصل کنید. درست است که در این حالت با یک پاره خط ریاضی طرف نیستیم اما با خطی که با تقریب خوبی راست است مواجهیم که در بیشتر شرایط قابل قبول است.

پاسخ مساله‌ی محققی که استخدام نشد

این پاسخ یک مساله است. ابتدا اصل مساله را بخوانید و در مورد پاسخ آن فکر کنید.

پاسخ: 

یک محقق خوب تا حد امکان از پیش‌داوری‌ به دور است. او چیزی را «خود به خودی» درست فرض نمی‌کند و فرضیه‌های خود را هر چقدر هم که در نگاه اول بدیهی به نظر برسند «راست‌آزمایی» می‌کند.

علی برای اولین بار در رستوران یاد شده غذا صرف می‌کند. وقتی غذایش را می‌آورند، او بنا به عادت، قبل از آن‌که غذا را بچشد به آن نمک می‌زند.

ناظران که هنوز او را زیر نظر دارند، متوجه می‌شوند که او فرضیه‌ی «من غذای پرنمک دوست دارم، این غذا کم نمک است» را بدون آن‌که راست‌آزمایی کند، پذیرفته است. آن‌ها نگران می‌شوند که علی در تحقیقات آتی‌اش هم از این‌نوع «پیش‌داوری‌های راست‌آزمایی نشده» داشته باشد. با توجه به حساسیت سمتی که علی قرار است در شرکت داشته باشد، آن‌ها ترجیح می‌دهند ریسک نکنند و علی را استخدام نکنند.