پاسخِ معمای احتمالِ پاسخِ تصادفی درست

بدست bamdadi

این پاسخ یک مساله است. ابتدا اصل مساله را این‌جا بخوانید.

چند نکته قبل از پاسخ:

نکته ۱: باید توجه داشت که سوال اندکی مبهم است و مشخص نمی‌کند چه نوعی از انتخاب تصادفی را باید در نظر بگیریم (خطی، نرمال، …). با این‌حال فرض می‌کنیم که تابعِ تصادفی خطی موردِ نظر بوده است.

نکته‌ ۲: در ضمن فرض کنیم سوالِ تستی مطرح شده می‌تواند دو گزینه‌ی درست داشته باشد (اما ما باید یکی را تصادفی انتخاب کنیم).

اگر نکته‌ی ۲ صادق نباشد یعنی سوالِ تستی فقط یک جوابِ درست داشته باشد، آن‌وقت گزینه‌های الف و د چون مشابه هستند (۲۵٪) از گزینه‌های درست حذف خواهند و در نتیجه دو گزینه باقی می‌ماند که فقط یکی از آن‌ها صحیح است یعنی ب و ج. پس پاسخ به این صورت می‌شود:

احتمال این‌که ب درست باشد (۱/۲) و احتمال این‌که ب (۱/۴) را انتخاب کنیم + احتمال این‌که ج درست (۱/۲) باشد و احتمال این‌که ج را انتخاب کنیم (۱/۴)؛
یعنی: ۱/۸ + ۱/۸. پس احتمالِ این‌که پاسخِ صحیح را انتخاب کنیم می‌شود ۱/۴ یا (۲۵٪).
اما به تناقض رسیدیم، چون قرار بود نتوانیم دو گزینه‌ی درست داشته باشیم، حال آن‌که دو تا از گزینه‌ها ۲۵٪ هستند. پس شاید بتوانیم بگوییم که نکته‌ی ۲ حتماً باید صادق باشد. (اما با در نظر گرفتن نکته‌ی ۳ داستان پیچیده‌تر می‌شود! چون اگر نکته‌ی ۳ درست باشد،‌ درست نبودن نکته‌ ۲ به تناقض نمی‌رسد، و پاسخ همان ۲۵٪ خواهد بود!)

نکته‌ ۳: توجه کنید که سوال نمی‌گوید «احتمالِ انتخابِ پاسخِ درست» با «مقدار عددی انتخاب درست» برابر است.  فرضاً ممکن است پاسخِ درست گزینه‌ی ج) ۳۳٪ باشد، اما احتمالِ انتخاب آن ۲۵٪ باشد. نیازی نیست این دو یکی باشند.

به عبارت دیگر سوال نمی‌گوید: «احتمالِ این‌که گزینه‌ی درست را به صورت تصادفی انتخاب کنید از میان گزینه‌های زیر انتخاب کنید.»

بلکه می گوید: «احتمالِ این‌که گزینه‌ی درست را به صورت تصادفی انتخاب کنید چقدر است؟»

یعنی سوالی که از ما شده تستی نیست،‌ تشریحی است. یک سوال تشریحی درباره‌ی یک سوال تستی.

اگر نکته‌ی ۳ درست نباشد، یعنی فرض کنیم محتوای گزینه‌‌ی درست باید با احتمالِ انتخابِ گزینه‌ی درست یکی باشد، آن‌وقت مسأله دچار «دُور» می‌شود، یعنی انتخابِ ما به صورتِ مسأله بازخورد می‌شود و در نتیجه مسأله ناپایدار می‌گردد و جواب معینی ندارد.

پاسخ:

خوب با توجه به نکاتِ بالا و برای سادگی، مسأله را این‌طور بازنویسی می‌کنیم:

اگر به صورتِ کاملاً تصادفی یکی از پاسخ‌های زیر را انتخاب کنید، احتمالِ این‌که پاسخِ درست را انتخاب کرده باشید چقدر است؟
الف) سیب          ب) گلابی            ج) هویج            د) سیب

ما با سه قلم میوه رو به رو هستیم. پس پاسخ باید یکی از این سه باشد، یعنی بینِ سیب، گلابی و هویج. احتمالِ این‌که پاسخ هر کدام از این‌ها باشد یک سوم (۱/۳) است. در نتیجه:

احتمال این‌که پاسخِ درست سیب باشد (۱/۳) و ما هم از میان چهار گزینه‌ی موجود سیب را انتخاب کنیم (۲/۴) است در نتیجه: ۱/۳ * ۲/۴ = ۲/۱۲

یا

احتمال این‌که پاسخِ درست گلابی باشد (۱/۳) و ما هم از میان چهار گزینه‌ی موجود گلابی را انتخاب کنیم (۱/۴) است در نتیجه: ۱/۳ * ۱/۴ = ۱/۱۲

یا

احتمال این‌که پاسخِ درست هویج باشد (۱/۳) و ما هم از میان چهار گزینه‌ی موجود هویج را انتخاب کنیم (۱/۴) است در نتیجه: ۱/۳ * ۱/۴ = ۱/۱۲

پس احتمالِ این‌که پاسخِ درست را انتخاب کنیم جمعِ همه‌ی احتمال‌های بالاست:

۲/۱۲+۱/۱۲+۱/۱۲ = ۱/۳

پس پاسخ درست ۱/۳ یا ۳۳٪ است. توجه داشته باشید که همان‌طور که در توضیحِ نکته‌ی ۲ نوشتیم، چنان‌چه نکته‌ی ۲ صادق نباشد (ولی نکته‌های ۱ و ۳ صادق باشند) پاسخ ۱/۴ (۲۵٪) می‌شود.

 پی‌نوشت۱: فرمِ اصلی این سوال گزینه‌ی ۳۳٪ را ندارد و به جای آن ۶۶٪ قرار دارد. مادامی که نکته‌ی ۳ صادق باشد شیوه‌ی حل آن مسأله مشابه است. اما در آن‌جا سوال به گونه‌ای مطرح شده که احتمالِ این‌که تفسیرِ نکته‌ی ۳ درست نباشد را بیشتر می‌کند. در نتیجه آن سوأل دچار دور می‌شود و جوابِ معینی ندارد.

پی‌نوشت۲: برخی از این نکته‌ها توسط دوستان ذیل مدخلِ این پست در گوگل‌پلاس مطرح شده است.

Advertisements