پراکندهای بامدادی

حیاط خلوت وبلاگ بامدادی

پاسخ معمای غیرممکن

این جواب یک مساله است. ابتدا اصل مساله را بخوانید و در مورد آن فکر کنید.

پاسخ مساله معمای غیرممکن

این مساله صورت های مختلفی دارد که هر کدام هم راه حل های مختلفی دارند. برای صورت کلاسیک آن که من در بامدادی منتشر کرده ام راه حل زیر را انتخاب کرده‌ام که بیشتر دوستانی هم که در بحث پای پست یا در گوگل پلاس دنبال کرده‌اند راه‌حل‌هایی شبیه این را دنبال کرده‌اند (بعضا به صورت کامل یا ناقص). و اما راه حل:

۱) اولین جمله‌ی ضیا نشان می‌دهد که او اگر چه حاصل ضرب x و y را می‌داند اما تک تک عددها را نمی‌داند. در نتیجه دو عدد x و y نمی‌توانند همزمان اول باشند.

۲) جیران می‌گوید که از ابتدا می‌دانسته که ضیا نمی‌تواند x و y را بداند. پس جیران قبل از این‌که جمله‌ی اول ضیا را شنیده باشد باید از روی حاصل‌جمع x و y فهمیده باشد که دو عدد نمی‌توانند هر دو اول باشند. (پس فهمیده که چون دو عدد نمی‌توانند هردو اول باشند پس ضیا هم نمی‌تواند از روی حاصل‌ضرب آن‌ها دو عدد را حدس بزند). این نشان می‌دهد که باید از میان فهرست حاصل‌جمع‌های ممکن بین ۳ تا ۱۰۰ آن‌هایی که می‌توانند توسط جمع دو عدد اول ساخته شوند را حذف کنیم. این‌کار را که انجام دهیم فقط ۲۴ حاصل‌جمع ممکن باقی می‌ماند (یعنی عددهای که نمی‌توان آن‌ها را به صورت جمع دو عدد اول نوشت) که عبارتند از:

۱۱، ۱۷، ۲۳، ۲۷، ۲۹، ۳۵، ۳۷، ۴۱، ۴۷، ۵۱، ۵۳، ۵۷، ۵۹، ۶۵، ۶۷، ۷۱، ۷۷، ۷۹، ۸۳، ۸۷، ۸۹، ۹۳، ۹۵ و ۹۷

۳) با توجه به این‌که همه‌ی این حاصل‌جمع‌ها فرد هستند، می‌دانیم که x باید فرد و y زوج باشد (یا برعکس). از میان حاصل‌جمع‌های ممکن که در بالا ذکر شد، ۱۶ تا از آن‌ها می‌توانند به دست‌کم دو حالت از صورت کلی 2m+q نوشته شوند که m  بزرگ‌تر یا مساوی با ۲ و q یک عدد اول است. به عنوان مثال توجه کنید که حاصل‌جمع ۱۱ را به دو صورت ۴+۷  و ۳+۸ می‌توان نوشت. اگر یکی از این مقادیر حاصل‌جمع دو عدد باشد، آن‌وقت ضیا (که حاصل‌ضرب را می‌داند) می‌تواند x و y را محاسبه کند، چون حاصل‌ضرب 2m*q را فقط به یک حالت می‌توان به یک عامل فرد و یک عامل زوج تجزیه کرد اما جیران (که حاصل جمع را می‌داند) نخواهد توانست به دو عدد x و y برسد چون دست کم دو حالت مختلف 2m+q  وجود دارد و او نمی‌داند کدام‌یک پاسخ است. با توجه به این‌که جیران «توانسته است» عددها را پیدا کند، پس این ۱۶ حاصل‌جمع از فهرست حاصل‌جمع‌های قابل قبول که بالا آوردیم باید حذف شوند. از میان فهرست بالا می‌توانیم حاصل‌جمع‌هایی را که می‌توان به دو صورت مختلف به صورت حاصل جمع ۲ و یک عدد فرد نوشت را حذف کنیم (چون x و y باید یکی فرد و یکی زوج باشند). بعد از این‌که آن‌ها را حذف کنیم به ۸ حاصل‌جمع ممکن زیر می‌رسیم:

۱۷، ۲۹، ۴۱، ۵۳، ۵۹، ۶۵، ۸۹ و ۹۷

۴) در ضمن داریم که:

۲۹ = ۱۳+۱۶ = ۲۷+۲

۴۱ = ۲۵+۱۶ = ۳۷+۴

۵۳= ۲۱+۳۲ = ۳۷+۱۶

۵۹ = ۲۷+۳۲ = ۴۳+۱۶

۶۵=۳۳+۳۲=۶۱+۴

۸۹=۲۵+۶۴=۷۳+۱۶

۹۷=۲+۹۵=۸+۸۹

و بعد از حذف این حاصل‌جمع‌ها، عدد ۱۷ به عنوان تنها مقدار ممکن برای حاصل‌جمع باقی می‌ماند.

۵) حالا باید تمام حالت‌هایی که می‌توان ۱۷ را تولید کرد در نظر بگیریم:

۱۷=۲+۱۵                         ۲*۱۵=۳۰=۶*۵

۱۷=۳+۱۴                        ۱۴*۳=۴۲=۲*۲۱

۱۷=۴+۱۳                                    ۴*۱۳=۵۲

۱۷=۵+۱۲                         ۵*۱۲=۶۰=۲*۳۰

۱۷=۶+۱۱                         ۶*۱۱=۶۶=۲*۳۳

۱۷=۷+۱۰                         ۷*۱۰=۷۰=۲*۳۵

۱۷=۸+۹                             ۸*۹=۷۲=۲*۳۶

از میان حالت‌های بالا که همه‌ی حاصل‌جمع ۱۷ را تولید می‌کنند، حالت‌هایی که دست‌کم به دو حالت مختلف می‌توان حاصل‌ضرب مربوطه را به صورت یک عامل فرد و یک عامل زوج تولید کرد حذف می‌کنیم. بنابراین با توجه به این‌که حاصل‌جمع باید ۱۷ باشد و حاصل‌ضرب هم نباید مبهم باشد، تنها یک حالت باقی می‌ماند و آن ۱۴+۳ است. این یعنی x=4 و y=13 باید باشد.

صورت انگلیسی این راه‌حال و بعضی روش‌های دیگر را می‌توانید این‌جا ببینید.

پاسخ مساله نقاط زیر را به هم وصل کنید

این پاسخ یک مساله است.ابتدا اصل مساله را بخوانید و در مورد پاسخ آن فکر کنید.

پاسخ مساله‌ی «نقاط زیر را به هم وصل کنید»:

پاسخ قسمت اول:

برای حل این مساله باید ازمربع فرضی‌ای که توسط نقطه‌ها ایجاد شده خارج شوید. به عبارت دیگر باید از چارچوب خارج شوید. تصویر زیر راه حل مساله را نشان می‌دهد (وصل کردن همه‌ی نقاط فقط با چهار پاره خط بدون تکرار نقاط).

پاسخ قمست دوم: برای وصل کردن نقاط توسط یک خط راست راه‌های مختلفی وجود دارد.

چون صورت مساله اشاره‌ای به ضخامت خط مورد نظر نکرده است، شما می‌توانید از یک قلم به اندازه‌ی کافی پهن استفاده کنید و با یک حرکت همه‌ی نقاط را به هم وصل کنید. اگر نقطه‌ها روی کاغذ کشیده شده باشند، می‌توانید کاغذ را به شیوه‌ی معینی ببرید (به صورتی که هر سطر یا هر ستون یا حتی هر کدام از نقطه‌ها در یک قطعه کاغذ قرار بگیرند) و تکه‌های بریده شده را کنار هم قرار دهید تا در امتداد هم قرار بگیرند و بعد با یک خط راست همه را به هم وصل کنید. بسته به همت‌تان ممکن است راه حل‌های دشوارتری نیز به ذهنتان برسد. مثلا می‌توانید از نقطه‌ی بالا سمت راست شروع کنید و خط مستقیمی به سمت چپ بکشید و امتداد خط را همین‌طور ادامه دهید و یک دور کامل کره زمین را بزنید و مجددا از راست به چپ از سطر دوم عبور کنید و دوباره یک دور زمین را بزنید و این بار سطر سوم را به هم وصل کنید. درست است که در این حالت با یک پاره خط ریاضی طرف نیستیم اما با خطی که با تقریب خوبی راست است مواجهیم که در بیشتر شرایط قابل قبول است.

پاسخ مساله‌ی محققی که استخدام نشد

این پاسخ یک مساله است. ابتدا اصل مساله را بخوانید و در مورد پاسخ آن فکر کنید.

پاسخ: 

یک محقق خوب تا حد امکان از پیش‌داوری‌ به دور است. او چیزی را «خود به خودی» درست فرض نمی‌کند و فرضیه‌های خود را هر چقدر هم که در نگاه اول بدیهی به نظر برسند «راست‌آزمایی» می‌کند.

علی برای اولین بار در رستوران یاد شده غذا صرف می‌کند. وقتی غذایش را می‌آورند، او بنا به عادت، قبل از آن‌که غذا را بچشد به آن نمک می‌زند.

ناظران که هنوز او را زیر نظر دارند، متوجه می‌شوند که او فرضیه‌ی «من غذای پرنمک دوست دارم، این غذا کم نمک است» را بدون آن‌که راست‌آزمایی کند، پذیرفته است. آن‌ها نگران می‌شوند که علی در تحقیقات آتی‌اش هم از این‌نوع «پیش‌داوری‌های راست‌آزمایی نشده» داشته باشد. با توجه به حساسیت سمتی که علی قرار است در شرکت داشته باشد، آن‌ها ترجیح می‌دهند ریسک نکنند و علی را استخدام نکنند.

پاسخ مساله تقارن آینه‌ای

این پاسخ یک مساله است. ابتدا اصل مساله را بخوانید و در مورد پاسخ آن فکر کنید.

پاسخ: آینه چپ و راست یا بالا و پایین را معکوس نمی‌کند. اگر رو به روی آینه بایستید، دست راست شما در قسمت راست تصویر تشکیل می‌شود و دست چپ شما در قسمت چپ تصویر. به همین ترتیب تصویر سر شما که در بالای بدن شما قرار دارد هم در همان جا تشکیل می‌شود یعنی بالای سر تصویر.

در آینه در واقع جلو و عقب جا به جا می‌شوند. تقارن آینه‌ای در واقع جلو و عقب را معکوس می‌کند و درست به همین دلیل است که نوشته‌های روی یک کاغذ را دیگر نمی‌توانید در آینه بخوانید: چون معکوس نشده‌اند و سر جای خودشان مانده‌اند! اگر شما رو به شمال رو به روی آینه بایستید تصویر آینه‌ای شما رو به جنوب خواهد ایستاد. این تصور ذهنی ماست که آینه چپ و راست را معکوس می‌کند، در حالی که تقارن آینه‌ای چنین نیست. این‌که ما شخص توی آینه را معکوس چپ/راست شده خودمان می‌بینیم جنبه روانی دارد. مغز ما آدم توی آینه را واقعی تلقی می‌کند و می‌خواهد تجسم کند که او چگونه آن‌جا رفته است. متعارف‌ترین روش تصور برای مغز ما این فرض است که او با معکوس شدن چپ و راست آدم اصلی تشکیل شده است. مغز ما عادت ندارد تصویر فرد توی آینه را با جا به جا شدن عقب و جلوی آدم اصلی تجسم کند.

ریچارد فاین‌من این پدیده را با طنز شیرینی تشریح می‌کند:

پاسخ مساله جمع ویژه

این پاسخ یک مساله است. ابتدا اصل مساله را این‌جا بخوانید.

پاسخ: همان‌طور که از صورت مساله پیداست این یک جمع معمولی نیست و باید به عنوان نوعی رابطه میان اعداد داده شده به آن نگاه کرد. با کمی دقت در نتایج مثال‌ها متوجه می‌شویم که رابطه میان سه عدد سمت چپ و حاصل در سمت راست به این صورت است :

رقم‌های اول و دوم در حاصل = حاصل ضرب معمولی عدد اول و دوم

رقم‌های سوم و چهارم در حاصل = حاصل ضرب معمولی عدد اول و سوم

رقم‌های پنجم و ششم حاصل =  حاصل جمع معمولی عدد اول و سوم ضربدر عدد دوم که به صورت معکوس (فرضا ۴۹ نوشته شود ۹۴).

به این ترتیب حاصل عبارت ۶+۹+۲ می‌شود: ۱۸۱۲۲۷

 

نکته: راه حل ارائه شده مدعی نمی‌شود که یکتا است. در واقع ما ثابت نکرده‌ایم که این راه حل‌، تنها توضیحی است که می‌تواند آن سه مثال ارائه شده را توضیح دهد. به این ترتیب راه حل ارائه شده فقط یکی از راه حل‌های ممکن (و شاید هم تنها راه حل ممکن) است.

پاسخ مسالهٔ شیرها و خط‌ها

این پاسخ یک مساله است. ابتدا اصل مساله را این‌جا بخوانید.

پاسخ: همان‌طور که چشم‌هایتان بسته است سکه‌ها را بدون این‌که برگردانید به دو دستهٔ مساوی تقسیم کنید. حالا تمام سکه‌های یکی از دسته‌ها را بر عکس کنید و به آن یکی دسته کاری نداشته باشید.

پاسخ سرآغاز و مسالهٔ ریاضی

این پاسخ یک مساله است. اصل سئوال را این‌جا بخوانید.

تعریف می‌کنیم که زمان واقعی زمانی است که ساعت اتاق شما نشان می‌دهد و زمان مجازی زمان نسبی‌است که در حالت خواب بر شما می‌گذرد.

اگر اصلا نخوابید و کلن بیدار بمانید برای حل مساله به ۱۰۰ دقیقه زمان واقعی احتیاج دارید. در صورتی که یک بار بخوابید و مساله را در حالت «خواب» حل کنید به پنج دقیقه (زمان لازم برای خوابیدن) و 100 دقیقه زمان مجازی و 50 دقیقه زمان واقعی (که می‌شود 55 دقیقه زمان واقعی برای حل مساله)‌ نیاز دارید. تابع Tn کل زمان واقعی مورد نیاز جهت حل مساله را در شرایطی که شما n بار به خواب رفته‌اید نشان می‌دهد:

T_{0}=100\\T_{n}=5+\frac{T_{n-1}}{2}

تابع بازگشتی را حل می‌کنیم:

T_{n}=10(9\times2^{-n}+1)

با چند جای‌گذاری ساده معلوم می‌شود که:

T_{1}=55\\T_{2}=32.5\\T_{3}=21.25\\T_{4}=15.6

پس اگر شما چهار بار به خواب روید و مساله را در حالت «خواب در خواب در خواب در خواب» حل کنید می‌توانید در کمتر از 20 دقیقه مساله‌ای که در حالت عادی به 100 دقیقه زمان نیاز دارد را حل کنید.

موفق باشید!